Qu'est-ce qu'un déterminant?

Les matrices sont des objets mathématiques qui transforment les formes.Le déterminant d'une matrice carrée A, indiquée | a |, est un nombre qui résume l'effet A a sur la taille et l'orientation d'une figure.Si [ a b ] est le vecteur de ligne supérieure pour a et [ c d ] est son vecteur de ligne inférieur, alors | a |' ad-bc .

Un déterminant code pour des informations utiles sur la façon dont une matrice transforme les régions.La valeur absolue du déterminant indique le facteur d'échelle de la matrice, combien il étire ou rétrécit une figure.Son signe décrit si la matrice retourne les chiffres, donnant une image miroir.Les matrices peuvent également fausser les régions et les faire pivoter, mais ces informations ne sont pas fournies par le déterminant.

Arithmétiquement, l'action transformatrice d'une matrice est déterminée par multiplication de la matrice.Si A est un 2 Times;2 matrice avec la ligne supérieure [ a b ] et la ligne inférieure [ c d ], puis [1 0] * a ' [ a b ] et [0 1] * a ' [ c d ].Cela signifie que A prend le point (1,0) au point ( A, B ) et le point (0,1) au point ( c, d ).Toutes les matrices ne laissent pas l'origine, donc on voit que A transforme le triangle avec des points d'extrémité à (0,0), (0,1) et (1,0) en un autre triangle avec des points d'extrémité à (0,0), ( a, b ) et ( c, d ).Le rapport de ce nouveau triangle de la zone de la triangle d'origine est égal à | ad-bc

|, la valeur absolue de | a |.

Le signe du déterminant d'une matrice décrit si la matrice retourne une forme.Considérant le triangle avec des points d'extrémité à (0,0), (0,1) et (1,0), si une matrice A maintient le point (0,1) stationnaire tout en prenant le point (1,0) au point(-1,0), puis il a renversé le triangle sur la ligne x

' 0. Puisque A a renversé la figure, | a |sera négatif.La matrice ne change pas la taille d'une région, donc | a |doit être -1 pour être cohérent avec la règle selon laquelle la valeur absolue de | a |Décrit à quel point une figure est une figure.

La matrice arithmétique suit la loi associative, ce qui signifie que ( v * a) * b ' v

* (a * b).Géométriquement, cela signifie que l'action combinée de transformer d'abord une forme avec la matrice A puis de transformer la forme avec la matrice B équivaut à transformer la forme d'origine avec le produit (a * b).On peut déduire de cette observation que | a | * | b |' | A * b |.

L'équation | a |* | B |' | A * b |a une conséquence importante lorsque | a |' 0. Dans ce cas, l'action de A ne peut pas être annulée par une autre matrice B. Cela peut être déduit en notant que si A et B étaient inversés, alors (a * b) ne s'étire ni ne retourne aucune région, donc | a *B |' 1. Puisque | a |* | B |' | A * b |, cette dernière observation conduit à l'équation impossible 0 * | b |' 1.

La revendication Converse peut également être montrée: si A est une matrice carrée avec un déterminant non nul, alors A a un inverse

.Géométriquement, c'est l'action de toute matrice qui n'aplatit pas une région.Par exemple, écraser un carré dans un segment de ligne peut être annulé par une autre matrice, appelée son inverse.Un tel inverse est l'analogue matriciel d'un réciproque.